Матричный элемент в квантовой электродинамике (КЭД) играет ключевую роль в расчетах амплитуд вероятности различных процессов взаимодействия частиц. Чтобы разобраться, что такое матричный элемент в контексте КЭД, необходимо сначала понять основы этой теории и то, как она используется для описания взаимодействий элементарных частиц, таких как электроны, позитроны и фотоны.
Теория квантовой электродинамики
Квантовая электродинамика является частью квантовой теории поля и описывает взаимодействия между заряженными частицами с помощью обмена фотонами. В рамках КЭД фотон рассматривается как квант электромагнитного поля, и взаимодействие частиц происходит через их взаимодействие с этим полем. КЭД является одной из самых успешных теорий в физике, объясняющей электромагнитные явления с невероятной точностью.
Амплитуда вероятности и матричный элемент
Чтобы рассчитать вероятность какого-либо процесса в КЭД, физики используют амплитуды переходов, которые в свою очередь рассчитываются через матричные элементы. Амплитуда перехода M\mathcal{M} описывает вероятность перехода системы из одного состояния в другое. Эта амплитуда зависит от характеристик начального и конечного состояний системы, а также от природы взаимодействия между частицами.
Матричный элемент — это математическое выражение, которое связывает амплитуду перехода с возможными исходами и начальным состоянием системы. Он зависит от взаимодействия, которое рассматривается в процессе, и включает информацию о начальных и конечных состояниях, а также о видах частиц и их взаимодействиях.
Физически, матричный элемент представляет собой величину, которая учитывает свойства взаимодействия между частицами в определенный момент времени. Это включает в себя такие параметры, как заряд, импульс и спин частиц, а также характеристики электромагнитного поля, через которое эти частицы взаимодействуют.
Формулировка матричного элемента
В теории КЭД матричный элемент для конкретного процесса часто записывается в виде скалярного произведения между состоянием частиц до и после взаимодействия:
M=⟨f∣H^int∣i⟩\mathcal{M} = \langle f | \hat{H}_{int} | i \rangle
Здесь:
- M\mathcal{M} — это матричный элемент для перехода из начального состояния ∣i⟩|i\rangle в конечное состояние ∣f⟩|f\rangle,
- H^int\hat{H}_{int} — это гамильтониан взаимодействия, который описывает взаимодействие частиц (в данном случае через обмен фотонами),
- ⟨f∣\langle f | и ∣i⟩|i \rangle — это волновые функции конечного и начального состояний системы.
Гамильтониан взаимодействия в КЭД включает в себя описание эмиссии и поглощения фотонов, что соответствует обмену этими частицами в процессе взаимодействия.
Роль матричного элемента в вычислениях
Рассмотрение матричного элемента позволяет физикам вычислять вероятности различных процессов, таких как рассеяние частиц или их взаимодействие. Важным моментом является то, что вероятность какого-либо процесса пропорциональна квадрату модуля матричного элемента:
P∼∣M∣2P \sim |\mathcal{M}|^2
Это означает, что чем больше матричный элемент, тем выше вероятность того, что процесс произойдет. Например, для процессов, связанных с рассеянием, такие вычисления необходимы для получения cross-секции — величины, которая описывает вероятность столкновения частиц.
В КЭД также учитываются различные коррекции, например, поправки, связанные с квантовыми флуктуациями поля или с процессами, которые включают дополнительные обмены фотонами (например, виртуальные фотонные обмены, которые можно учесть через диаграммы Фейнмана).
Пример расчета матричного элемента
Один из простых примеров — это процесс рассеяния электронов с позитронами. В этом процессе взаимодействие между электронами и позитронами происходит через обмен фотонами. Матричный элемент для этого процесса можно записать в виде:
M=uˉ(pf)γμu(pi)⋅−igμνq2⋅vˉ(qf)γνv(qi)\mathcal{M} = \bar{u}(p_f) \gamma^\mu u(p_i) \cdot \frac{-i g_{\mu\nu}}{q^2} \cdot \bar{v}(q_f) \gamma^\nu v(q_i)
Здесь:
- u(pi)u(p_i) и u(pf)u(p_f) — это спиноры для начального и конечного электрона,
- vˉ(qi)\bar{v}(q_i) и vˉ(qf)\bar{v}(q_f) — это спиноры для начального и конечного позитрона,
- γμ\gamma^\mu и γν\gamma^\nu — это матрицы Гамильтона для описания взаимодействий,
- gμνg_{\mu\nu} — метрический тензор, который описывает структуру фотона,
- q2q^2 — передаваемый импульс фотона.
Этот матричный элемент дает полное описание амплитуды перехода для рассеяния, которое затем можно использовать для вычисления вероятности взаимодействия.
Матричный элемент и диаграммы Фейнмана
В квантовой электродинамике диаграммы Фейнмана являются визуальным инструментом для представления взаимодействий между частицами. Каждая диаграмма Фейнмана соответствует определенному матричному элементу для процесса. Линии, представляющие частицы, и вершины, где частицы взаимодействуют (обмениваются фотонами), соответствуют математическим выражениям, которые включают матричные элементы.
Например, в процессе рассеяния электронов на позитроны можно нарисовать диаграмму Фейнмана, в которой электроны и позитроны обмениваются виртуальными фотонами. Каждая вершина в такой диаграмме соответствует определенному матричному элементу, а вся диаграмма — это наглядное представление амплитуды перехода.
Связь с наблюдаемыми величинами
Матричные элементы напрямую влияют на наблюдаемые величины, такие как сечение рассеяния, которое рассчитывается через интеграл по фазовому пространству с учетом матричного элемента. Для рассеяния с участием электронов и позитронов выражение для сечения может быть записано как:
σ=∫∣M∣2dΦ\sigma = \int | \mathcal{M} |^2 d\Phi
Здесь dΦd\Phi — это элемент фазового пространства, который учитывает все возможные конечные состояния частиц, а ∣M∣2| \mathcal{M} |^2 — квадрат матричного элемента, который является функцией от энергии, углов и других параметров взаимодействующих частиц.
Таким образом, матричный элемент является основой для расчета всех важных величин в КЭД, от амплитуд до вероятностей конкретных событий. Это делает его важнейшим инструментом для понимания и предсказания поведения элементарных частиц в различных процессах.
