Правильная форма – «на реке Днепр».
В русском языке существуют определённые правила, касающиеся предлогов с реками и другими географическими объектами. В случае с рекой, когда речь идёт о названии реки без употребления её родового названия (в данном случае «река»), форма с предлогом «на» требует существительное в именительном падеже, то есть просто «Днепр», а не «Днепре». Такое правило обосновано синтаксической конструкцией языка, в которой наименования рек, гор, озёр и других крупных водоёмов не требуют дополнительной предлоги и не изменяются в падежах, если это не связано с определённой грамматической конструкцией.
Форма «на реке Днепре» использовалась бы, если бы речь шла о чём-то, что находится на реке, а не в её пределах. Например, в предложении «на реке Днепре были построены мосты» употребляется существительное в предложном падеже, так как говорим о месте, где что-то расположено.
